Prawdopodobieństwo na maturę 2026 – drzewka i wariacje w praktyce | MaturaMinds

Chcesz zdobyć pewne punkty na maturze 2026 z matematyki? Dział rachunku prawdopodobieństwa to Twoja dźwignia. W tym kompleksowym przewodniku (w duchu Brilliant.org) nauczysz się rozpoznawać, kiedy narysować drzewko prawdopodobieństwa, a kiedy użyć permutacji, wariacji i kombinacji. Pokażę Ci schematy rozwiązań, skróty, pułapki i zadania krok po kroku, tak abyś z marszu podniósł liczbę punktów. Do systematycznej nauki wykorzystaj kurs Matematyka podstawowaMatematyka podstawowa (sprawdź moduły: Matematyka – modułyMatematyka – moduły), zapisuj kluczowe wzory w NotatkiNotatki, ćwicz na Arkusze maturalneArkusze maturalne i dopytuj bota MaturAIMaturAI, gdy utkniesz.

Co trzeba umieć (snapshot kompetencji)

1. Zliczanie wyników – odróżnisz: permutacje, wariacje (z/bez powtórzeń), kombinacje.
2. Model procesu – narysujesz drzewko i pilnujesz, jak zmieniają się liczby w licznikach/mianownikach.
3. Relacje zdarzeń – suma, przekrój, niezależność, warunkowość.
4. Taktyka maturalna – dopełnienie („co najmniej jedno” → licz „zero”), rozpoznawanie „ze zwracaniem” vs „bez zwracania”.

Ekspresowa ściąga: wzory, które realnie użyjesz

Silnia

$$n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n$$

Permutacje (ustawiam wszystkie elementy, kolejność ma znaczenie)

$$P_n = n!$$

Wariacje bez powtórzeń (wybieram (k) z (n) i ustawiam w kolejności)

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Wariacje z powtórzeniami (każde miejsce ma (n) możliwości)

$$n^k$$

Kombinacje bez powtórzeń (wybieram (k) z (n), kolejność nie ma znaczenia)

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

Prawdopodobieństwo klasyczne

$$P(A) = \frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$$

Prawdopodobieństwo warunkowe

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Niezależność zdarzeń

$$P(A\cap B) = P(A)\,P(B)$$

Drzewko czy wzór? Szybka decyzyjka

• Kolejne etapy wpływają na siebie (bez zwracania) → rysuj drzewko i aktualizuj ułamki na gałęziach.
• Kody/ustawienia/rankingi (kolejność ważna) → wariacje/permutacje.
• Wybór zespołu (kolejność nieważna) → kombinacje.
• „Co najmniej jedno …” → licz dopełnienie (czyli „zero …”) i odejmij od 1.

Drzewka prawdopodobieństwa – solidna podstawa

Przykład 1 (rozgrzewka): moneta i kostka

Oblicz $P(\text{orzeł i liczba parzysta})$ przy rzucie uczciwą monetą i sześcienną kostką. Próby są niezależne, więc:

$$P(\text{O i parzysta}) = P(\text{O})\cdot P(\text{parzysta})$$ $$P(\text{O}) = \frac{1}{2}$$ $$P(\text{parzysta}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$P(\text{O i parzysta}) = \frac{1}{4}$$

Przykład 2: urna bez zwracania – „dokładnie jedna biała”

W urnie są 3 białe i 2 czarne kulki. Losujemy bez zwracania 2 kulki. Oblicz $P(\text{dokładnie jedna biała})$.

Dwa rozłączne przypadki: B→C oraz C→B.

$$P(\text{B→C}) = \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$$ $$P(\text{C→B}) = \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$$ $$P = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$$

Kontrola kombinatoryczna (liczymy pary bez kolejności):

$$P = \frac{3\cdot 2}{\binom{5}{2}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Jak rysować drzewko (procedura)

1. Krok 1: rozgałęź na możliwe wyniki pierwszej próby.
2. Krok 2: przy każdej gałęzi zapisz prawdopodobieństwo (po aktualizacji stanu, np. liczby kul).
3. Krok 3: rozgałęź drugi krok, ponownie ułamki aktualizowane „po zdarzeniu”.
4. Krok 4: wybrane scenariusze sumuj, mnożąc po drodze ułamki wzdłuż gałęzi.

Wariacje, permutacje, kombinacje – wybór modelu

Decyzja w 10 sekund

• Kolejność istotna, bez powtórzeń → $V_n^k$.
• Kolejność istotna, z powtórzeniami → $n^k$.
• Kolejność nieistotna, bez powtórzeń → $\binom{n}{k}$.
• Ustawiam wszystkie elementy → $n!$.

Przykład 3: kod PIN (4 cyfry, powtórzenia dozwolone)

$$10^4$$

Przykład 4: podium top-3 z 10 osób (kolejność ważna)

$$V_{10}^3 = 10\cdot 9\cdot 8$$

Przykład 5: 3-osobowa drużyna z 10 osób (kolejność nieważna)

$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\cdot 7!} = 120$$

Prawdopodobieństwo przez zliczanie wyników

Schemat: policz „korzystne” (modelem zliczania), policz „wszystkie”, potem ułamek.

Przykład 6: hasła 5-literowe bez samogłosek

Litery 26, samogłoski 5, spółgłoski 21. Liczba haseł bez samogłosek:

$$21^5$$

Prawdopodobieństwo, że losowe 5-literowe hasło (z 26 liter) nie zawiera samogłoski:

$$P = \frac{21^5}{26^5}$$

Niezależność i warunkowość – sedno matury

Niezależność – gdy wynik pierwszej próby nie zmienia rozkładu drugiej:

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

Warunkowość – gdy wiemy, że zaszło $B$:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Przykład 7: „druga jest czerwona” przy braku zwrotu

Urna: 5 czerwonych, 3 niebieskie. Losujemy 2 bez zwracania. Oblicz $P(\text{druga czerwona}\mid \text{pierwsza niebieska})$.

Po wyjęciu niebieskiej zostaje 5 czerwonych na 7 kul:

$$P = \frac{5}{7}$$

Prawo całkowitego prawdopodobieństwa i Bayes

Gdy zdarzenie zależy od „źródła” (np. różne maszyny/klasy/testy), sumuj po rozłącznych przypadkach.

Prawo całkowitego prawdopodobieństwa

$$P(A) = \sum_i P(A\mid B_i)\,P(B_i)$$

Wzór Bayesa

$$P(B_i\mid A) = \frac{P(A\mid B_i)\,P(B_i)}{P(A)}$$

Przykład 8: dwie maszyny o różnej wadliwości

Maszyna (M_1): 60% produkcji, 2% wadliwych. Maszyna (M_2): 40% produkcji, 5% wadliwych. Losowy produkt – oblicz $P(\text{wadliwy})$, a następnie $P(M_2\mid \text{wadliwy})$.

$$P(W) = 0{,}02\cdot 0{,}6 + 0{,}05\cdot 0{,}4$$ $$P(W) = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$$ $$P(M_2\mid W) = \frac{0{,}05\cdot 0{,}4}{0{,}032} = \frac{0{,}02}{0{,}032} = 0{,}625$$

Strategie maturalne (praktyczne triki)

• Dopełnienie: „co najmniej jedna 6” → $1 - P(\text{zero 6})$.
• Bez zwracania: po każdej próbie aktualizuj licznik/mianownik.
• Niezależność: zadaj sobie pytanie: „czy pierwszy wynik zmienia szanse w drugim kroku?”.
• Czytelny zapis: jeden rachunek = jeden wniosek; egzamintor musi widzieć tok rozumowania.
• Podwójne liczenie: gdy kolejność nieistotna, dziel przez odpowiednie $k!$.
• Kontrola drugą metodą: drzewko ↔ kombinatoryka (redukuje ryzyko błędu).

Mini-trik (kostki: „co najmniej jedna…”)

$$P(\text{≥1 szóstka w 2 rzutach}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2$$

Zestaw zadań treningowych (z pełnymi rozwiązaniami)

Zadanie 1: suma 9 na dwóch kostkach

Policz $P(\text{suma }=9)$ przy dwóch rzutach uczciwą kostką.

Korzystne pary: ((3,6),(4,5),(5,4),(6,3)) – 4 wyniki. Wszystkich:

$$6\cdot 6 = 36$$ $$P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

Zadanie 2: drużyna 3-osobowa

Z 10 osób losujemy zespół 3-osobowy. Ile jest możliwości?

$$\binom{10}{3} = 120$$

A $P(\text{że w zespole jest konkretny uczeń A})$?

$$\binom{9}{2} = 36$$ $$P = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$$

Zadanie 3: co najmniej jedna samogłoska

Prawdopodobieństwo, że losowe 5-literowe hasło (z 26 liter) ma co najmniej jedną samogłoskę:

$$P = 1 - \frac{21^5}{26^5}$$

Zadanie 4: dokładnie jedna czerwona (inna urna)

Urna: 5 czerwonych, 3 niebieskie. Losujemy 2 bez zwracania. Oblicz $P(\text{dokładnie jedna czerwona})$.

$$P = \frac{5}{8}\cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{8}\cdot \frac{5}{7}$$ $$P = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$

Kontrola kombinatoryczna:

$$P = \frac{5\cdot 3}{\binom{8}{2}} = \frac{15}{28}$$

Zadanie 5: permutacje z powtórzeniami (ANNA)

Ile różnych przestawień ma słowo ANNA?

$$\frac{4!}{2!\cdot 2!} = 6$$

A $P(\text{że zaczyna się na A})$? Licz ustawienia NNA na 3 pozycjach:

$$\frac{3!}{2!} = 3$$ $$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Zadanie 6: test medyczny (Bayes)

Częstość choroby 1%. Test: czułość 99%, fałszywie dodatnie 2%. Dany pacjent ma wynik dodatni. Oblicz $P(\text{chory}\mid +)$.

$$P(+) = 0{,}99\cdot 0{,}01 + 0{,}02\cdot 0{,}99$$ $$P(+) = 0{,}0099 + 0{,}0198 = 0{,}0297$$ $$P(\text{chory}\mid +) = \frac{0{,}99\cdot 0{,}01}{0{,}0297} \approx 0{,}3333$$

Zadanie 7: dwie litery bez powtórzeń

Z alfabetu 26-literowego losujemy kolejno bez zwracania dwie litery. Oblicz $P(\text{obie są spółgłoskami})$; spółgłosek jest 21.

$$P = \frac{21}{26}\cdot \frac{20}{25}$$ $$P = \frac{420}{650} = \frac{42}{65}$$

Zadanie 8: „co najmniej jedna 6” w trzech rzutach

$$P(\text{≥1 szóstka w 3 rzutach}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3$$

Zadanie 9: układy miejsc (wariacje vs kombinacje)

W klasie jest 12 osób. Ile sposobów można wybrać przewodniczącego i zastępcę?

$$V_{12}^2 = 12\cdot 11 = 132$$

A ile sposobów wybrać dwuosobowy zespół do projektu (kolejność nieważna)?

$$\binom{12}{2} = 66$$

Zadanie 10: klasyczny egzaminowy miks (warunkowość)

W urnie 4 białe i 6 czarnych kul. Losujemy dwie ze zwracaniem. Oblicz $P(\text{oba losowania czarne}\mid \text{pierwsze czarne})$.

Ze zwracaniem próby są niezależne, więc:

$$P(\text{drugie czarne}\mid \text{pierwsze czarne}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

A bez warunkowania (po prostu dwa czarne ze zwracaniem):

$$P = \left(\frac{6}{10}\right)^2 = \frac{9}{25}$$

Jak wpleść to w naukę z MaturaMinds (konkretny plan)

1. Lekcje i zadania w kursie Matematyka podstawowaMatematyka podstawowa – przerób najpierw moduły z prawdopodobieństwa (lista modułówlista modułów).
2. Własna ściąga w NotatkiNotatki – wpisz tam skróty: kiedy $V_n^k$, kiedy $\binom{n}{k}$, kiedy drzewko i jak liczyć dopełnienie.
3. Realne tempo i format – rozwiązuj Arkusze maturalneArkusze maturalne i mierz czas.
4. Punktowe wsparcie – pytaj MaturAIMaturAI o pojedyncze kroki, gdy utkniesz; nie chodzi o gotowce, tylko o naprowadzenie.
5. Regularna powtórka – włącz Materiały e-mailMateriały e-mail, żeby co tydzień utrwalać rachunek prawdopodobieństwa małymi porcjami.

Checklista przed egzaminem (odhacz!)

• Rozróżniasz drzewko vs wariacje/kombinacje.

• Umiesz stosować:

  $$n!$$ $$V_n^k$$ $$n^k$$ $$\binom{n}{k}$$

• Płynnie liczysz dopełnienie i warunkowość.

• Wiesz, kiedy jest niezależność, a kiedy jej nie ma.

• Umiesz użyć prawa całkowitego prawdopodobieństwa i Bayesa.

• Przećwiczyłeś typy: urna, kostki, hasła, rankingi.

Podsumowanie

Rachunek prawdopodobieństwa na maturze 2026 to dział o wysokim stosunku czas/punkty – pod warunkiem, że dobierzesz właściwy model: drzewko do procesów etapowych (zwłaszcza bez zwracania) oraz wariacje/kombinacje do zliczania przypadków. Pamiętaj o dopełnieniu, warunkowości, niezależności i – gdy trzeba – Bayesie. Uporządkuj notatki w NotatkiNotatki, trenuj zadania w Matematyka podstawowaMatematyka podstawowa i sprawdzaj się na Arkusze maturalneArkusze maturalne. Z takim planem prawdopodobieństwo staje się Twoim sprzymierzeńcem – i realnym źródłem punktów na egzaminie.